こんにちは、くれあです。
みなさんは高校までの数学の授業でたくさんの言葉を覚えたと思います。
ただ、高校まではどちらかというと計算中心でしたが、
大学以上では計算というより証明が中心になります。
そこで今回は証明によく出てくる、知っていないといけない用語をまとめていきたいと思います。
高校の教科書でもちょっと出現していて、なんとなく聞いたことはあるけどちゃんと意味や違いを理解していない言葉もあるかもしれません。
是非、大学レベルの数学を学びたい方は参考にしてくださいね。
公理（axiom）
これから考えようとする理論の元として、
論証がなくても自明の真理として無条件に正しいと認める事柄。
一言でいえば「理由なしで正しいとする事柄」です。
数学において事実にはそこまでたどり着くのに
それまでに正しいと認めた事実を積み上げて結論付けていきます。
ですが、その根底にある事実がないと積み上げることができません。
そこで、無条件で認めるとした事柄が公理です。
定義（definition）
新たに導入しようとする用語に、
既に意味が確立されている用語を用いて、正確な意味を与えること。
辞典に書かれている言葉のように
様々な議論を進めるために人（数学者）が作った
意味を決めた言葉になります。
命題（proposition）
真偽が決まる主張で
言語や式によって成り立つことが証明されるもの。
「〇〇は◆◆である」というように主張したもので
それが正しい根拠を明らかに示すことを証明と言います。
証明する必要がある命題に
「定理」「補題」「系」の３種類があります。
定理（theorem）
公理や定義をもとにして成り立つことが証明された事柄で、
特に重要であると認識されるもの。推論の前提になるもの。
補題（lemma）
定理の証明の際、
その証明の見通しをよくするための準備として設けられた補題的な命題。
系（corollary）
定理や補題から直ちに成り立つことが照明される命題。
これらの３種類の区別は気持ちの問題なところがありますが、
定理が有名な特に大事な命題で
補題が定理の証明に使うサブ命題で
系が定理・補題からすぐに分かるちょっとした事実
のような感覚です。
よく使う文字
ギリシャ文字
高校数学にもいくつかは出てきましたが
大学以降も数式でよく出てくるので覚えておいた方が良いでしょう。
（読み方も含め）
よく似た小文字（間違えないよう注意！）
\(φ\)と\(ψ\)：ファイとプサイ
\(δ\)と\(σ\)：デルタとシグマ
よく使う集合
\(\mathbb R\)：実数全体（real numbers）
\(\mathbb Z\)：整数全体（zahlen）
\(\mathbb N\)：自然数全体（natural numbers）
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