【元数学教師が解説】因数分解のコツを紹介！これで難問もサクサク解ける♫

こんにちは、くれあです。
この記事では大学まで数学を専門に勉強し、数学の教員の経験がある私が自分なりに意識している因数分解のコツを紹介します。

これから紹介するコツを覚えて意識することで、
因数分解の問題でどうアプローチしていけばいいか分かってきます。
ぜひ参考にしてくださいね(^^)

基本的な公式を覚える

因数分解をするときに即座にどの公式が使えるのか見極めることが必要です。
すぐ判断できるようになるためには、まずはこれらの基本的な公式をしっかり覚えることが必須です。

かたまりを意識する、置き換える

例えば次の問題を考えてみましょう。

このような問題はどう解きますか？
\((x^2+x+5)(x^2+x-3)\)を展開してから…と考えるのもできなくはないですが、
4次式になってしまいますし計算も面倒なのでナンセンスでしょう。

そこで\((x^2+x+5)(x^2+x-3)\)に注目して\(x^2+x\)をかたまりとして見ます。
その上で展開してみましょう。

（解答）

$$
\begin{align}
(x^2+x+5)(x^2+x-3)+7 &= \{(x^2+x)+5\}\{(x^2+x)-3\}+7 \\
&=(x^2+x)^2+2(x^2+x)-15+7 \\
&=(x^2+x)^2+2(x^2+x)-8 \\
&=\{(x^2+x)+4\}\{(x^2+x)-2\} \\
&=(x^2+x+4)(x^2+x-2) \\
\end{align}
$$

このように\(x^2+x\)をかたまりとして見ることで
\((x^2+x+5)(x^2+x-3)\)の展開が楽になりました♫

たすきがけをマスターする

基本的な公式を覚えるのと同じくらい、
たすきがけをマスターすることも様々な数式を因数分解するのに必須です。
たすきがけで躓く人も少なくはないと思いますが、踏ん張りましょう…！

（解答）
\(2x^2+5x+3\)をたすきがけします。

（たすきがけの図）

よって
\(2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)\)

また、かたまりを意識すると\(x\)だけでなく\(y\)を含めたような
文字が複数ある数式の因数分解にも対応できます。

1文字について整理する

ときどき、先ほど紹介した基本的な公式を使おうと思っても
パッと見使えなさそうな時も少なくありません。
また、文字が複数あったり数式が長かったりすると何をすればいいのかさっぱり分からない場面も出てきます。
そういうときは1文字について注目して整理してみましょう。

（解答）
\(x\)について整理すると
$$
\begin{align}
xy-x-y+1 &= x(y-1)-y+1 \\
&=x(y-1)-(y-1) \\
&=(x-1)(y-1)
\end{align}
$$

（解答）
\(a\)について整理すると
$$
\begin{align}
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca &= a^2+(2b+2c)a+b^2+2bc+c^2 \\
&=a^2+(2b+2c)a+(b+c)^2 \\
&=\{a+(b+c)\}^2 \\
&=(a+b+c)^2 \\
\end{align}
$$

この因数分解の結果
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\)
は公式としても有名なので覚えておくと良いでしょう。

応用編：平方完成を利用する

平方完成を利用する方法は
数が大きい数式や一見同じ文字で括れない・公式をそのまま使えない数式を
簡単に因数分解できる威力があります。

（解答）
\(x^2\)と\(8\)で\(x^4\)と\(64\)を作り出すイメージで平方完成していきます。
$$
\begin{align}
x^4+64 &= (x^2+8)^2-16x^2-64+64 \\
&=(x^2+8)^2-16x^2 \\
&=\{(x^2+8)+4x\}\{(x^2+8)-4x\} \\
&=(x^2+4x+8)(x^2-4x+8) \\
\end{align}
$$

応用編：難しい公式も覚えておく

覚えておくと大学入試で一発で因数分解できます。

（解答）
\(a^2\)と\(b^2\)と\(c^2\)をひとまとめで考えます。
$$
\begin{align}
与式 &= (a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \\
&=(a^2+b^2+c^2)^2 \\
\end{align}
$$

（解答）
$$
\begin{align}
与式 &= x^3+(-3y)^3+1^3-3\cdot x\cdot(-3y)\cdot 1 \\
&=(x-3y+1)(x^2+9y^2+1+3xy+3y-x) \\
\end{align}
$$