こんにちは、くれあです。
今回は「2項間漸化式」の解き方を紹介します。
基本的な解法と別解も紹介します、ぜひ参考にしてくださいね。
問題
問題
\(a_1=2, a_{n+1}=3a_n+2 \quad(n\geq1)\)
解法①【特性方程式を使う】
特性方程式とは漸化式を簡単に解くための必要な値を求めることが出来る方程式のことです。
今回は\(a_{n+1}=3a_n+2\)の\(a_{n+1}\)と\(a_n\)の部分を\(\alpha\)に書き換えることで特性方程式を作ります。（解答の②式）
\(a_{n+1}=3a_n+2\)の形の難しいところは、\(3\cdot a_n\)と\(+2\)があり積と和が混ざった式になっているところです。
そこで、特性方程式を使うことで\(+2\)をない式を作り出し、数列を求めていく作戦です。
積と和がごっちゃになってて何をすれば良いかわからない・・・
せめてどっちかだけだったら解けそう！
（解答）
$$
\begin{align}
a_{n+1} &= 3a_n+2 \cdots① \\
\alpha &= 3\alpha+2 \;\cdots②
\end{align}
$$
\(①-②\) より，\(a_{n+1}-\alpha=3(a_n-\alpha)\)
よって，\(a_{n}-\alpha=(a_1-\alpha)3^{n-1}\)
②より，\(\alpha=-1\)
ゆえに，\(a_n=\lbrace2-(-1)\rbrace3^{n-1}-1=3^n-1\)
解法②【階差数列として解く】
（解答）
$$
\begin{align}
a_{n+1} &= 3a_n+2 \;\cdots① \\
a_n &= 3a_{n-1}+2 \cdots②
\end{align}
$$
\(①-②\) より，\(a_{n+1}-a_n=3(a_n-a_{n-1})\)
ここで，\(b_n=a_{n+1}-a_n\)とおくと
$$
\begin{align}
b_n &= 3b_{n-1} \\
ゆえに，b_n &= b_1 \cdot 3^{n-1}
\end{align}
$$
\(b_1=a_2-a_1=3a_1+2-a_1=2a_1+2=2\cdot2+2=6\)なので
$$
b_n=6\cdot3^{n-1}=2\cdot3^n
$$
よって
$$
\begin{align}
a_n &= a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2\cdot 3^k = 2+2\cdot \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} \\
&= 2+3(3^{n-1}-1)=3^n-1
\end{align}
$$
解法③【予想して帰納法で示す】
（解答）
$$
\begin{align}
a_1 &= 2 \\
a_2 &= 3a_1+2=2(3+1) \\
a_3 &= 3a_2+2=3\cdot2(3+1)+2 \\
&=2(3^2+3+1)
\end{align}
$$
よって，
$$
\begin{align}
a_k &= 2(3^{k-1}+3^{k-2}+\cdots+3+1) \\
&= 2\cdot\frac{3^k-1}{3-1}=3^k-1
\end{align}
$$
が成り立つと仮定する.このとき
$$
a_{k+1}=a_k+2=3(3^k-1)+2=3^{k+1}-1
$$
よって，帰納的に
$$
a_n=3^n-1
$$
が成り立つ.
最後に
解法①の特性方程式が１番メジャーで簡単な解法だと思います。
しかし、解法②③の考え方は他のタイプの漸化式を解くときにも役立ちますし、
計算練習にもなるので、余裕がある人は解法②③の方法も試してみるといいですね(^^)
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